25. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Пусть \(O\) — середина диагонали \(BD\). В параллелограмме диагонали делятся пополам, значит, \(O\) также середина диагонали \(AC\).

В треугольнике \(BCD\) точка \(E\) — середина \(AB\), а так как диагонали параллелограмма делятся пополам, можно рассмотреть векторную запись: положим \(A=0\), \(B=\vec b\), \(D=\vec d\), тогда \(C=\vec b+\vec d\) и \(E=\frac{\vec b}{2}\).

Из условия \(EC=ED\) следует:

\[\left|\frac{\vec b}{2}+\vec d\right|^2=\left|\frac{\vec b}{2}-\vec d\right|^2.\]

Раскрывая скалярные квадраты, получаем \(\vec b\cdot\vec d=0\). Значит, стороны \(AB\) и \(AD\) перпендикулярны. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Доказано.