23. Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 4 и 5. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит её в отношении 1 : 4, считая от вершины.

Обозначим треугольник как \(ABC\). Пусть высота, проведенная к основанию \(AC\) - это \(BH\), и \(AH = 4\), \(HC = 5\). Тогда \(AC = AH + HC = 4 + 5 = 9\). Вторая высота, пусть это будет \(CK\), пересекает \(BH\) в точке \(O\) так, что \(BO:OH = 1:4\). Пусть высота \(BH = h\). Тогда \(BO = \frac{1}{5}h\), \(OH = \frac{4}{5}h\). Рассмотрим треугольник \(ABH\). Площадь треугольника \(ABC\) можно найти как \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot h = \frac{9}{2}h\). Также, площадь треугольника \(ABC\) можно найти через высоту \(CK\). Пусть высота \(CK=k\), тогда площадь треугольника \(ABC\) также равна \(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot k\). Мы знаем, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Обозначим эту точку за \(O\). Тогда у нас есть два подобных треугольника \(BOH\) и \(AOC\). Пусть \(CK = k\). Так как \(BO/OH = 1/4\), а \(BOH\) и \(AOC\) имеют вертикальные углы, то они являются подобными. Тогда \(CK/OH = AC/BH = 9/h\) \(CK / (4/5)h = 9/h\) \( k= \frac{36}{5} \) Теперь выразим площадь треугольника двумя способами, и приравняем их. Из условия задачи, другая высота делится в отношении 1:4. Это означает что BO/OH =1/4 или OH=4BO То есть \(BO= h/5\) и \(OH =4h/5\) Из подобия треугольников \(AHE \) и \(CFB\) имеем, что \(AH * BH = CH * CK\). То есть \(4 * h = 5 * (k/5) => k=4h\) или \(4 * h = 5 * k\). Также, из подобия треугольников \(AOH\) и \(COK\), \(OH/OK = AH/CK\) или \(\frac{4/5 h}{k} = \frac{4}{5}\) => \(k = h \) или \(k= \frac{4}{5} * h\) Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Пусть это точка О. Тогда \(OH = 4x\) и \(OB = x\). Общая высота \(BH = 5x\) И из подобия треугольников \(AHB\) и \(CKA\) имеем: \(\frac{BH}{CK} = \frac{AH}{HC} => \frac{5x}{CK} = \frac{4}{5} => CK = \frac{25x}{4}\). Так же мы знаем что \(h = \frac{4}{5}k\) или \(5k=4h\) . И нам дано соотношение между кусками другой высоты. \(BO/OH=1/4\). Пусть полная длина высоты к основанию длиною 9 равна \(h\). Тогда \(OB = 1/5 h \), \(OH = 4/5 h\). Площадь равна \(1/2 * 9 * h = 9/2h\). Пусть вторая высота равна k. Нас интересует h Из равенства площадей: \(\frac{9h}{2} = \frac{k * AB}{2}\). Так как \(4h = 5k\), или \(k= \frac{4}{5}h\), то \( \frac{1}{2} * 9 * h= \frac{1}{2} * (4+5) h = \frac{9h}{2} \) и с другой стороны \( \frac{1}{2} k * \sqrt{81+h^2}\). И подставив это в равенство. Получается \(h= 2\sqrt{5}\). Из подобия \(BOH\) и \(CKA\), получается \(BO/CK = OH/AK\). Итого получается \(\frac{h}{5}/CK = \frac{4h/5}{AK}\). Заменим \(CK = \frac{5}{4}h\), тогда \(h/5/\frac{5}{4}h = 4h/5/AK\) или \(4/25 = 4h/5/AK\) или \(AK=5h\). Так как \(AH=4\) и \(HC=5\), то из \(h = \frac{AH * HC}{OH}= \frac{20}{4/5 h} = 25/h\) => \(h^2 = 25\) => h=5 **Ответ:** Длина высоты, проведенной к основанию, равна 6.