25. Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 36, тангенс угла BAC равен \(\frac{9}{40}\). Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Обозначим радиус окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), как \(r\), а радиус окружности, вписанной в треугольник \(BCP\), как \(r_{BCP} = 36\). Так как \(\angle C = 90^\circ\), то \(CP\) - высота, проведенная из вершины прямого угла. Тангенс угла \(BAC\) равен \(\frac{BC}{AC} = \frac{9}{40}\). Пусть \(BC=9x\), тогда \(AC=40x\). Треугольники \(ABC\) и \(CBP\) подобны, потому что углы при \(B\) у них общие, а углы \(C\) и \(P\) равны 90 градусам. Отношение радиусов вписанных окружностей подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон, то есть: \(\frac{r_{BCP}}{r} = \frac{BC}{AB}\) или \(\frac{r_{BCP}}{r} = \frac{CP}{AC}\) или \(\frac{r_{BCP}}{r} = \frac{BP}{BC}\). Найдем \(AB\) по теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2 = (40x)^2 + (9x)^2 = 1600x^2 + 81x^2 = 1681x^2\). Отсюда \(AB = 41x\). Площадь \(ABC = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 40x \cdot 9x = 180x^2\). Площадь также можно выразить как полупериметр умноженный на радиус, то есть: \(S_{ABC} = p \cdot r\), где \(p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{41x + 9x + 40x}{2} = 45x\). Следовательно, \(180x^2 = 45x \cdot r\) => \(r=4x\). Теперь из отношения радиусов: \(\frac{r_{BCP}}{r} = \frac{BC}{AB} = \frac{9x}{41x} = \frac{9}{41}\). Тогда \(\frac{36}{r} = \frac{9}{41}\). Отсюда \(r = \frac{36 \cdot 41}{9} = 4 \cdot 41 = 164\). **Ответ:** Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 164.