237. При каком наибольшем целом значении \(a\) выражение \(2n^3-an\) делится на 6?

Для делимости на 6 при любом целом \(n\) выражение должно делиться и на 2, и на 3.

1. При \(n=1\) получаем \(2-a\), поэтому необходимо \(a\equiv2\pmod 3\). При этом условие достаточно для делимости на 3: если \(3\mid n\), выражение делится на 3; если \(3\nmid n\), то \(n^2\equiv1\pmod 3\), и \(2n^3-an=n(2n^2-a)\equiv0\pmod 3\).
2. Чтобы выражение было чётным при любом \(n\), необходимо и достаточно, чтобы \(a\) было чётным.

Значит, подходят все целые \(a\equiv2\pmod 6\), например \(2,8,14,\ldots\). Среди них нет наибольшего.

Ответ: наибольшего целого значения \(a\) не существует.