238. При каком наименьшем натуральном значении a выражение 2n³ + 2an делится на 6?

Требуется делимость при любом целом n. При n = 1 получаем 2 + 2a, поэтому необходимо, чтобы a ≡ 2 (mod 3). Наименьшее натуральное значение, удовлетворяющее этому условию, — 2.

Проверим достаточность: при a = 2 выражение равно 2n(n² + 2). Если n делится на 3, всё выражение делится на 3; если n не делится на 3, то n² ≡ 1 (mod 3), и n² + 2 делится на 3. Множитель 2 обеспечивает делимость на 2.

Ответ: a = 2.