238. При каком наименьшем натуральном значении \(a\) выражение \(2n^3+2an\) делится на 6?

Рассматриваем делимость при любом целом \(n\). Имеем \(2n^3+2an=2n(n^2+a)\), поэтому нужно, чтобы \(n(n^2+a)\) делилось на 3.

Если \(n\) делится на 3, условие выполнено. Если не делится, то \(n^2\equiv1\pmod3\), и для делимости требуется \(1+a\equiv0\pmod3\), то есть \(a\equiv2\pmod3\). Наименьшее натуральное такое число — 2.

Ответ: \(a=2\).