24) 3^(x+2) + 9^(x+1) = 810

Решение:

Экспоненциальное уравнение:

\[ 3^{x+2} + 9^{x+1} = 810 \]\[ 3^x \cdot 3^2 + (3^2)^{x+1} = 810 \]\[ 9 \cdot 3^x + 3^{2(x+1)} = 810 \]\[ 9 \cdot 3^x + 3^{2x+2} = 810 \]\[ 9 \cdot 3^x + 3^{2x} \cdot 3^2 = 810 \]\[ 9 \cdot 3^x + 9 \cdot (3^x)^2 = 810 \]

Разделим всё на 9:

\[ 3^x + (3^x)^2 = 90 \]

Пусть \( y = 3^x \). Уравнение примет вид:

\[ y + y^2 = 90 \]\[ y^2 + y - 90 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361 \]\[ \sqrt{D} = 19 \]

Корни:

\[ y_1 = \frac{-1 + 19}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]\[ y_2 = \frac{-1 - 19}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \]

Подставляем обратно \( 3^x = y \):

• \( 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2 \)
• \( 3^x = -10 \) — решений нет, так как степень положительного числа не может быть отрицательной.

Ответ: \( x = 2 \).