26) 2sin^2 x + 9sin xcosx + 10cos^2 x = 0

Решение:

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени.

Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin^2 x = 1 \). Уравнение примет вид \( 2 \cdot 1 + 9 \cdot 0 + 10 \cdot 0 = 2 \neq 0 \). Значит, \( \cos x \neq 0 \).

Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \):

\[ \frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{9\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{10\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \]\[ 2\text{ tg}^2 x + 9\text{ tg } x + 10 = 0 \]

Пусть \( y = \text{tg } x \). Уравнение примет вид:

\[ 2y^2 + 9y + 10 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 81 - 80 = 1 \]\[ \sqrt{D} = 1 \]

Корни:

• \( y_1 = \frac{-9 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2 \)
• \( y_2 = \frac{-9 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} \)

Подставляем обратно \( \text{tg } x = y \):

• \( \text{tg } x = -2 \implies x = \text{arctg}(-2) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)
• \( \text{tg } x = -\frac{5}{2} \implies x = \text{arctg}\left(-\frac{5}{2}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \text{arctg}(-2) + \pi k \) и \( x = \text{arctg}\left(-\frac{5}{2}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).