28) log_5^2 x - log_5 x = 2

Решение:

Логарифмическое уравнение.

Пусть \( y = \log_5 x \). Уравнение примет вид:

\( y^2 - y = 2 \)

Переносим всё в одну сторону:

\( y^2 - y - 2 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

\( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

\( \sqrt{D} = 3 \)

Корни:

• \( y_1 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
• \( y_2 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Подставляем обратно \( \log_5 x = y \):

• \( \log_5 x = 2 \implies x = 5^2 = 25 \)
• \( \log_5 x = -1 \implies x = 5^{-1} = \frac{1}{5} \)

Оба корня удовлетворяют ОДЗ \( x > 0 \).

Ответ: \( x = 25 \) и \( x = \frac{1}{5} \).