25) 5 tg x - 4 ctg x + 8 = 0

Решение:

Тригонометрическое уравнение:

\[ 5 \text{ tg } x - 4 \text{ ctg } x + 8 = 0 \]

Заменим \( \text{ctg } x = \frac{1}{\text{tg } x} \) (при условии \( \text{tg } x \neq 0 \) и \( \text{ctg } x \neq 0 \), что означает \( x \neq \frac{\pi k}{2} \)).

Пусть \( y = \text{tg } x \).

Уравнение примет вид:

\[ 5y - \frac{4}{y} + 8 = 0 \]

Умножим на \( y \) (при \( y \neq 0 \)):

\[ 5y^2 - 4 + 8y = 0 \]\[ 5y^2 + 8y - 4 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение:

\[ D = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144 \]\[ \sqrt{D} = 12 \]

Корни:

• \( y_1 = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)
• \( y_2 = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2 \)

Подставляем обратно \( \text{tg } x = y \):

• \( \text{tg } x = \frac{2}{5} \implies x = \text{arctg}\left(\frac{2}{5}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)
• \( \text{tg } x = -2 \implies x = \text{arctg}(-2) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \text{arctg}\left(\frac{2}{5}\right) + \pi k \) и \( x = \text{arctg}(-2) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).