24. Биссектрисы углов A и B в параллелограмме ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне CD. Докажите, что M — середина CD.

Обозначим \(\angle DAB=\alpha\), \(\angle ABC=\beta\). Соседние углы параллелограмма supplementary: \(\alpha+\beta=180^\circ\).

Так как \(BM\) — биссектриса угла B, \(\angle MBC=\beta/2\). Поскольку \(MC\parallel BA\), угол \(BMC\) также равен \(\beta/2\). Значит, в треугольнике \(BMC\) равны углы при B и M, поэтому \(BC=CM\).

В треугольнике \(ADM\), поскольку \(AM\) — биссектриса, \(\angle DAM=\alpha/2\). Так как \(DM\) лежит на стороне \(DC\), \(\angle ADM=\angle ADC=\beta\). Тогда \(\angle AMD=180^\circ-\alpha/2-\beta=\alpha/2\). Следовательно, \(AD=DM\).

В параллелограмме \(AD=BC\). Значит, \(DM=AD=BC=CM\), поэтому M — середина CD.