24. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне BC. Докажите, что K — середина BC.

Обозначим \(\angle A=\alpha\), \(\angle B=\beta\). В параллелограмме соседние углы supplementary: \(\alpha+\beta=180°\), а противоположные углы равны.

В треугольнике ABK: \(\angle BAK=\alpha/2\), а \(\angle ABK=\beta\), поскольку K лежит на BC. Тогда \(\angle AKB=180°-\alpha/2-\beta=\alpha/2\). Значит, в треугольнике ABK равны углы BAK и AKB, поэтому \(BK=AB\).

В треугольнике DCK: \(\angle CDK=\beta/2\), так как DK — биссектриса угла D, равного углу B. Кроме того, \(\angle DCK=\alpha\). Поэтому \(\angle DKC=180°-\alpha-\beta/2=\beta/2\). Следовательно, \(CK=CD\).

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(AB=CD\). Получаем \(BK=AB=CD=CK\), то есть \(BK=CK\).

Следовательно, K — середина BC.