24. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно вписать окружность. Докажите, что AB + CD = BC + AD.

Решение:

Дано: Четырёхугольник ABCD, около него можно вписать окружность.

Доказать: \( AB + CD = BC + AD \).

Доказательство:

Если около четырёхугольника можно вписать окружность, то такой четырёхугольник называется описанным.

Ключевое свойство описанного четырёхугольника заключается в том, что суммы противоположных сторон равны.

Пусть окружность касается сторон AB, BC, CD, AD в точках P, Q, R, S соответственно.

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, длины отрезков касательных равны:

• \( AP = AS \)
• \( BP = BQ \)
• \( CQ = CR \)
• \( DR = DS \)

Теперь рассмотрим суммы противоположных сторон четырёхугольника:

1. Сумма сторон AB и CD:

\( AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD) \)

Подставляя равные отрезки касательных:

\( AB + CD = (AS + BQ) + (CQ + DS) \)

Перегруппируем слагаемые:

\( AB + CD = (AS + DS) + (BQ + CQ) \)

\( AB + CD = AD + BC \).

2. Сумма сторон BC и AD:

\( BC + AD = (BQ + QC) + (AS + SD) \)

Подставляя равные отрезки касательных:

\( BC + AD = (BP + CR) + (AP + DR) \)

Перегруппируем слагаемые:

\( BC + AD = (BP + AP) + (CR + DR) \)

\( BC + AD = AB + CD \).

Таким образом, мы доказали, что \( AB + CD = BC + AD \).

Вывод: Утверждение доказано.