24. На средней линии трапеции \(ABCD\), основания \(AD\) и \(BC\) которой параллельны, выбрали произвольную точку \(E\). Докажите, что сумма площадей треугольников \(BEC\) и \(AED\) равна половине площади трапеции.

Обозначим длины оснований \(AD=a\) и \(BC=b\), а высоту трапеции — \(h\). Поскольку \(E\) лежит на средней линии, её расстояния до оснований равны и каждое составляет \(h/2\).

Треугольник \(BEC\) имеет основание \(BC=b\) и высоту \(h/2\), поэтому \(S_{BEC}=bh/4\). Треугольник \(AED\) имеет основание \(AD=a\) и высоту \(h/2\), поэтому \(S_{AED}=ah/4\).

Следовательно, \(S_{BEC}+S_{AED}=(a+b)h/4\). Площадь трапеции равна \(S_{ABCD}=(a+b)h/2\), значит сумма площадей треугольников составляет половину площади трапеции.

Доказано: \(S_{BEC}+S_{AED}=\frac12S_{ABCD}\).