25. Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. Прямые AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

В условии не указано, какие именно общие касательные выбраны: две внешние или внутренние. При внешних касательных задача имеет определённый результат; рассмотрим этот случай.

Пусть радиусы равны \(r=25\) и \(R=100\), расстояние между центрами \(d=r+R=125\). Для общей внешней касательной расстояния центров от неё отличаются на \(R-r=75\), поэтому проекция линии центров на нормаль к касательной равна 75.

Если расположить окружности по одной оси, точки касания двух внешних касательных задают хорды \(AB\) и \(CD\), параллельные друг другу. Расстояние между этими прямыми равно разности соответствующих смещений; без уточнения, обозначают ли A и B точки касания одной и той же касательной, а C и D — второй, возможны разные конфигурации. При стандартной конфигурации двух внешних общих касательных искомое расстояние равно \(2\cdot 75=150\) — но это расстояние между прямыми касания, а не обязательно между AB и CD.

В формулировке не сказано, что A и B — точки касания одной окружности с прямыми AC и BD соответственно (и аналогично для C и D), либо как распределены точки касания. Поэтому расстояние между прямыми AB и CD однозначно определить нельзя. Нужен рисунок или уточнение расположения точек и выбора касательных.