24. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.

Обозначим высоту трапеции через \(h\). Средняя линия параллельна основаниям и проходит на равном расстоянии от них, поэтому расстояние от точки \(F\) до каждого основания равно \(\dfrac h2\).

1. Площадь треугольника \(BFC\): \(S_{BFC}=\dfrac12\cdot BC\cdot\dfrac h2=\dfrac{BC\,h}{4}\).
2. Площадь треугольника \(AFD\): \(S_{AFD}=\dfrac12\cdot AD\cdot\dfrac h2=\dfrac{AD\,h}{4}\).
3. Сложим площади и сравним с площадью трапеции: \[S_{BFC}+S_{AFD}=\dfrac{(AD+BC)h}{4}=\dfrac12\cdot\dfrac{(AD+BC)h}{2}=\dfrac12S_{ABCD}.\]

Следовательно, сумма площадей указанных треугольников равна половине площади трапеции.