24. Окружность с центром на стороне \(AC\) треугольника \(ABC\) проходит через вершину \(C\) и касается прямой \(AB\) в точке \(B\). Найдите диаметр окружности, если \(AB=9\), \(AC=12\).

Обозначим центр окружности через \(O\), а её радиус — через \(r\). Так как окружность касается прямой \(AB\) в точке \(B\), то \(OB\perp AB\). Пусть \(AO=x\). В прямоугольном треугольнике \(AOB\):

\(OB^2=AO^2-AB^2=x^2-81\).

Поскольку \(O\) лежит на стороне \(AC\), а окружность проходит через \(C\), имеем \(OC=AC-AO=12-x\). Радиусы равны, значит, \(OB=OC\):

\(x^2-81=(12-x)^2\), откуда \(24x=225\) и \(x=\dfrac{75}{8}\).

Тогда радиус \(r=OC=12-\dfrac{75}{8}=\dfrac{21}{8}\), а диаметр равен \(2r=\dfrac{21}{4}\).

Ответ: \(\dfrac{21}{4}\).