24. Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не находится внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении \(a:b\). Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как \(a:b\).

Пусть внутренняя общая касательная касается окружностей в точках A и B, а её пересечение с отрезком PQ — точка T. Радиусы PA и QB перпендикулярны общей касательной, поэтому они параллельны. При этом P, T, Q лежат на одной прямой, а A, T, B — на касательной.

Треугольники PTA и QTB прямоугольные и имеют равные острые углы, образованные прямыми PQ и AB. Значит, они подобны. Соответствующие стороны дают \(\frac{PA}{QB}=\frac{PT}{TQ}=\frac{a}{b}\).

Диаметры равны \(2PA\) и \(2QB\), поэтому отношение диаметров совпадает с отношением радиусов: \(\frac{2PA}{2QB}=\frac{a}{b}\).

Что и требовалось доказать.