24. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями BC = 2 и AD = 32. Диагональ BD = 8. Треугольники CBD и BDA имеют общий угол $$\angle CBD$$ и $$\angle BDA$$ - внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD, значит $$\angle CBD = \angle BDA$$. Так как BC||AD, то $$\angle CBD = \angle BDA$$. Также $$\angle BCD$$ и $$\angle ADB$$ являются накрест лежащими углами при параллельных прямых BC и AD и секущей CD, следовательно, $$\angle BCD = \angle ADB$$. Теперь рассмотрим отношения сторон: $$\frac{BC}{BD} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$ и $$\frac{BD}{AD} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$$. Таким образом, $$\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD}$$. Поскольку углы, заключенные между пропорциональными сторонами, равны, то треугольники CBD и BDA подобны по двум сторонам и углу между ними. Доказано.