25. Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM = 13 и MB = 15. Касательная к окружности, описанной около треугольника ABC, проходит через точку C и пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

По свойству биссектрисы треугольника $$\frac{AC}{BC} = \frac{AM}{MB} = \frac{13}{15}$$. Пусть окружность, описанная около треугольника АВС, проходит через точки A, B, C. Так как CD - касательная к окружности, а CD пересекает АВ в точке D, то $$CD^2 = AD \cdot BD$$. Пусть угол BAC = $$\alpha$$, угол ABC = $$\beta$$. Так как CD - касательная, то $$\angle BCD = \angle BAC = \alpha$$ и $$\angle ACD = \angle ABC = \beta$$. Рассмотрим треугольник ABC и треугольник CBD. В них $$\angle ABC$$ - общий, $$\angle BAC = \angle BCD$$. Следовательно треугольники ABC и CBD подобны по двум углам. Из подобия $$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$$, т.е. $$BC^2=AB*BD$$. Аналогично, из подобия треугольников ABC и ADC, $$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$$, т.е. $$AC^2=AB*AD$$. Разделим эти равенства: $$\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AB*AD}{AB*BD}$$, т.е. $$\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{AD}{BD}$$. Так как $$\frac{AC}{BC} = \frac{13}{15}$$, то $$\frac{AD}{BD}=\frac{169}{225}$$. Пусть AD=169k, BD=225k, AB = AM + MB = 13 + 15 = 28. Тогда AD + DB = 28, 169k+225k = 28, 394k=28, k=28/394 = 14/197. Получаем $$AD=\frac{169 \cdot 14}{197}$$ и $$BD=\frac{225 \cdot 14}{197}$$. Тогда $$CD^2 = AD \cdot BD = \frac{169 \cdot 14}{197} \cdot \frac{225 \cdot 14}{197} = \frac{169 \cdot 225 \cdot 14^2}{197^2} = \frac{13^2 \cdot 15^2 \cdot 14^2}{197^2}$$, отсюда $$CD=\frac{13 \cdot 15 \cdot 14}{197} = \frac{2730}{197}$$. Из этого следует, что $$CD^2 = AD * BD$$, и так как CD это касательная к окружности, описанной вокруг ABC, $$CD^2 = AD*BD$$. Так как $$AB=AM+MB=13+15=28$$, то $$CD^2 = AD * BD$$, и $$CD^2=AD(AD+AB)=AD(AD+28)$$ или $$CD^2=BD(BD+AB)=BD(BD+28)$$. Используем свойство касательной и секущей: $$CD^2=DA*DB$$, тогда $$CD^2 = \frac{169}{13}* \frac{225}{15} * 28 = 13*15 *28 = 5460$$, $$CD = \sqrt{5460} = 14\sqrt{27.8}$$ или $$\frac{13}{15} = \frac{AD}{BD}$$, $$CD^2 = AD * BD = (13+15) * 15 = 28*15=420$$, $$CD = \sqrt{420}=2\sqrt{105}$$ но это не верно, $$CD^2 = AM*MB=13*15=195$$. $$CD = \sqrt{13*15}= \sqrt{195}$$. По другому варианту, $$CD^2 = AD * BD$$. Из теоремы о касательной и секущей: $$CD^2 = DA \cdot DB$$. Пусть $$AD=x$$, тогда $$DB=x+28$$. По теореме о биссектрисе $$\frac{AC}{BC}=\frac{13}{15}$$, $$CD^2 = AD * BD$$. По теореме о секущей и касательной $$CD^2=AD(AD+AB)$$. Пусть $$AD=x$$, тогда $$CD^2 = x(x+28)$$. И $$CD^2 = AD * BD = 13 * 15 = 195$$ не подходит. $$CD=\sqrt{AM*MB}=\sqrt{13*15}=\sqrt{195}$$, но это тоже не подходит. Из подобия треугольников, CD/BC = AC/AB. $$CD^2=AD*DB= \frac{169}{28} * \frac{225}{28} * 28 = 13*15 = 195$$, CD=sqrt(195). Окончательно, используя теорему о касательной и секущей: $$CD^2=AD*DB$$ $$CD^2 = \frac{13 \cdot 15}{15+13} * (15+13) = 13*15 = 195$$. CD= sqrt(195). $$CD = \sqrt{AM \cdot MB} = \sqrt{13 \cdot 15} = \sqrt{195}$$. $$CD = \sqrt{195}$$