24. Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что BN — биссектриса угла ABC.

Обозначим через \(\vec u\) вектор \(\overrightarrow{BC}\), а через \(\vec v\) — вектор \(\overrightarrow{BA}\). В параллелограмме \(CD=AB\), поэтому из условия \(AB=2BC\), то есть \(|\vec v|=2|\vec u|\).

Возьмём точку B за начало отсчёта. Тогда положение точки C задаётся вектором \(\vec u\), а точки D — вектором \(\vec u+\vec v\). Поскольку N — середина CD, \(\overrightarrow{BN}=\frac{\vec u+\vec v}{2}=\vec u+\frac12\vec v\).

Векторы \(\vec u\) и \(\frac12\vec v\) имеют одинаковую длину и направлены вдоль лучей BC и BA соответственно. Их сумма направлена по биссектрисе угла между этими лучами: равные по длине векторы образуют с суммой равные углы. Следовательно, BN — биссектриса угла ABC.