25. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 41 : 40, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 18.

Обозначим через H основание высоты из B на AC, а через P — точку пересечения этой высоты с биссектрисой угла A. По условию \(BP:PH=41:40\), поэтому \(PH=\frac{40}{81}BH\) и расстояние от P до прямой AC равно \(\frac{40}{81}BH\).

Точка P лежит на биссектрисе, значит, её расстояния до прямых AB и AC равны. Пусть \(AB=c\), а \(BH=h\). Площадь треугольника ABP можно выразить через основание AB: расстояние от P до AB равно \(\frac{40h}{81}\). Также, поскольку P лежит на BH, эта площадь равна \(\frac12\cdot BP\cdot AH\); эквивалентно из равенства расстояний и координат на высоте следует \(\frac{AH}{AB}=\frac{40}{41}\).

В прямоугольном треугольнике ABH имеем \(AB^2=AH^2+BH^2\). Из \(AH=\frac{40}{41}AB\) получаем \(BH=\frac9{41}AB\), то есть \(\sin A=\frac{BH}{AB}=\frac9{41}\).

Радиус описанной окружности равен \(R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{18}{2\cdot(9/41)}=41\).

Ответ: 41.