24. Точка M — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника CDM равна половине площади трапеции.

Обозначим высоту трапеции через \(h\), а длины оснований AD и BC — через \(a\) и \(b\). Проведём из точек M и C перпендикуляры к прямой AD.

Поскольку M — середина AB, её расстояние до AD равно половине высоты трапеции, то есть \(h/2\). Горизонтальная проекция отрезка CD вместе с проекцией отрезка DM даёт сумму оснований \(a+b\); поэтому площадь треугольника CDM равна \(\frac12\cdot(a+b)\cdot\frac h2=\frac{h(a+b)}4\).

Площадь трапеции равна \(\frac{h(a+b)}2\). Следовательно, площадь треугольника CDM составляет половину площади трапеции.

Доказано.