25. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 10 и CD = 13 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём угол AKB равен 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Пусть центральные углы, опирающиеся на хорды AB и CD, равны \(\alpha\) и \(\gamma\). Для пересекающихся внутри окружности хорд угол между ними равен полусумме соответствующих дуг, поэтому \(\alpha+\gamma=2\cdot60°=120°\).

Для хорды длины \(c\) и радиуса R верно \(c=2R\sin(\theta/2)\), где \(\theta\) — соответствующий центральный угол. Значит, \(\alpha=2\arcsin(5/R)\), \(\gamma=2\arcsin(6{,}5/R)\). Получаем уравнение:

\(\arcsin(5/R)+\arcsin(6{,}5/R)=60°\).

Решение этого уравнения при \(R\ge6{,}5\) даёт \(R\approx11{,}52\). Это значение можно проверить подстановкой в уравнение для углов.

Ответ: примерно 11,52.