24. В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка Р так, что площадь треугольника АВР в 6 раз меньше площади треугольника АВС. Докажите, что ВP: PM = 1 : 2.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть $$S_{ABC}$$ — площадь треугольника ABC. По условию, $$S_{ABP} = S_{ABC} / 6$$.
2. Шаг 2: Треугольники ABP и PBM имеют общую высоту, проведенную из вершины B к медиане AM (или ее продолжению).
3. Шаг 3: Отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований: $$S_{ABP} / S_{PBM} = BP / PM$$.
4. Шаг 4: Треугольники ABM и CBM имеют равные площади, так как BM — медиана, делящая треугольник ABC на два равновеликих треугольника. $$S_{ABM} = S_{CBM} = S_{ABC} / 2$$.
5. Шаг 5: Площадь треугольника ABP равна $$S_{ABC} / 6$$. Тогда площадь треугольника PBM равна $$S_{ABM} - S_{ABP} = S_{ABC} / 2 - S_{ABC} / 6 = (3S_{ABC} - S_{ABC}) / 6 = 2S_{ABC} / 6 = S_{ABC} / 3$$.
6. Шаг 6: Теперь найдем отношение BP к PM: $$BP / PM = S_{ABP} / S_{PBM} = (S_{ABC} / 6) / (S_{ABC} / 3) = (S_{ABC} / 6) * (3 / S_{ABC}) = 3/6 = 1/2$$.
7. Шаг 7: Таким образом, $$BP : PM = 1 : 2$$.

Доказано.