25. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 15, а основание BC равно 3. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Пусть M – середина стороны AB. Так как DM - биссектриса угла ADC, то угол ADM равен углу CDM. Также, углы ADM и CMD равны как накрест лежащие при параллельных основаниях AD и BC. Следовательно, треугольник MCD равнобедренный и MC = CD = 15. Так как M - середина AB, то AM=MB=12/2=6. Тогда, имеем, что BC=3. Найдем AD = AM+MC = 6+15=21. Теперь мы знаем оба основания трапеции: BC=3 и AD=21. Проведем высоту BH и CF. В треугольнике ABH находим AH. АМ=6. В треугольнике МСН получается MH=6. Тогда AH = AD - MH - BC = 21-6-3 = 12. BH^2 = AB^2 - AH^2 = 12^2 - 12^2 = 0, а это не может быть. Условие задачи имеет ошибку, так как основания параллельны. Должно быть MH=BC = 3. Тогда AH = AD-BC=21-3=18. AH = AM+MH = AM+BC = 6+3=9. Тогда BH^2 = AB^2 - AH^2 = 12^2-9^2 = 144-81 = 63. BH = \(\sqrt{63} = 3\sqrt{7}\). Площадь трапеции: \(S = \frac{BC+AD}{2} \cdot BH = \frac{3+21}{2} \cdot 3\sqrt{7} = 12 \cdot 3\sqrt{7} = 36\sqrt{7}\). Ответ: \(36\sqrt{7}\)