25. Через середину D медианы AK треугольника ABC и вершину B проведена прямая, пересекающая сторону AC в точке T. Найдите отношение площади треугольника BKD к площади четырёхугольника CKDT.

Поскольку \(AK\) — медиана, \(K\) — середина \(BC\). Выберем координаты: \(A=(0,0)\), \(C=(1,0)\), \(B=(u,v)\), где \(v\ne0\). Тогда \(K=((u+1)/2,v/2)\), а так как \(D\) — середина \(AK\), то \(D=((u+1)/4,v/4)\).

Прямая \(BD\) пересекает \(AC\), то есть прямую \(y=0\), в точке \(T\). Запишем её как \(B+t(D-B)\). Из координаты \(y\): \(v+t(v/4-v)=0\), откуда \(t=4/3\). Тогда координата \(x\) точки пересечения равна \(u+\frac43\bigl((u+1)/4-u\bigr)=1/3\), то есть \(T=(1/3,0)\).

Обозначим через \(|v|/2\) площадь треугольника \(ABC\). По формуле площади через определитель получаем \(S_{BKD}=|v|/8\). Для четырёхугольника \(CKDT\), применяя формулу площади многоугольника по координатам его вершин, получаем \(S_{CKDT}=5|v|/24\).

Поэтому \(S_{BKD}:S_{CKDT}=(|v|/8):(5|v|/24)=3:5\).

Ответ: 3:5.