25. Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=4$ и $CD=7$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём угол $AKB$ равен $60°$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Question

Вопрос: $Фото задания: 25. Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=4$ и $CD=7$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в…$ Фото задания

25. Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=4$ и $CD=7$ вписан в окружность. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$, причём угол $AKB$ равен $60°$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Accepted Answer

Для вписанного четырёхугольника углы $AKB$ и $CKD$ вертикальные, поэтому $\angle CKD=60°$. Обозначим через $\alpha=\angle ACB$ вписанный угол, опирающийся на хорду $AB$, а через $\beta=\angle CAD$ — угол, опирающийся на хорду $CD$.

В треугольнике $AKB$: $\alpha+\beta+60°=180°$, откуда $\alpha+\beta=120°$. По формуле хорды $AB=2R\sin\alpha=4$, $CD=2R\sin\beta=7$. Следовательно, $\sin\alpha=2/R$, $\sin\beta=7/(2R)$.

Так как $\beta=120°-\alpha$, то $\sin\beta=\frac12\sin\alpha+\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha$. Подставляя значения, получаем $\frac{7}{2R}=\frac1R+\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha$, то есть $\cos\alpha=\frac{5}{\sqrt3R}$. Используем $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$:

$\frac{4}{R^2}+\frac{25}{3R^2}=1$, поэтому $R^2=\frac{37}{3}$, и $R=\sqrt{37/3}$.

Ответ: $\sqrt{37/3}$.