25. На стороне AB треугольника ABC взята точка D так, что окружность, проходящая через точки A, C и D, касается прямой BC. Найдите AD, если AC = 12, BC = 18 и CD = 8.

Так как точка C лежит на окружности и на прямой BC, эта прямая касается окружности в точке C. По теореме о касательной и секущей для точки B:

\(BA\cdot BD=BC^2=18^2=324\).

Обозначим \(AD=x\), \(BD=y\). Тогда \(BA=x+y\), поэтому \(y(x+y)=324\).

По теореме Стюарта для треугольника ABC и cevian CD: \(AC^2\cdot BD+BC^2\cdot AD=AB(CD^2+AD\cdot BD)\). Подставим данные: \(144y+324x=(x+y)(64+xy)\).

С учётом \(y(x+y)=324\) правая часть равна \(64(x+y)+324x\). Сокращая слагаемое \(324x\), получаем \(144y=64(x+y)\), откуда \(x=\frac54y\).

Тогда \(y(x+y)=y\cdot\frac94y=324\), значит \(y^2=144\) и \(y=12\). Следовательно, \(AD=x=\frac54\cdot12=15\).

Ответ: 15.