25. Найдите корень уравнения $$ \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{4x-5}{3}} = 5^{2-3x} $$

Решение:

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Так как \( \frac{1}{5} = 5^{-1} \), получим:

\[ (5^{-1})^{\frac{4x-5}{3}} = 5^{2-3x} \]

Используем свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\[ 5^{-\frac{4x-5}{3}} = 5^{2-3x} \]

Поскольку основания равны, приравняем показатели степеней:

\[ -\frac{4x-5}{3} = 2-3x \]

1. Умножим обе части на 3:

\[ -(4x-5) = 3(2-3x) \]

\[ -4x+5 = 6-9x \]

1. Перенесем члены с \( x \) в одну сторону, а константы — в другую:

\[ -4x + 9x = 6 - 5 \]

\[ 5x = 1 \]

1. Разделим обе части на 5:

\[ x = \frac{1}{5} \]

Ответ: \( x = \frac{1}{5} \)