28. Решите неравенство $$ \left(\frac{1}{7}\right)^{2x^2-3x} \ge \frac{1}{49} $$

Решение:

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Так как \( \frac{1}{49} = \left(\frac{1}{7}\right)^2 \), неравенство примет вид:

\[ \left(\frac{1}{7}\right)^{2x^2-3x} \ge \left(\frac{1}{7}\right)^2 \]

Поскольку основание степени \( \frac{1}{7} \) меньше 1, при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

\[ 2x^2 - 3x \le 2 \]

1. Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное неравенство:

\[ 2x^2 - 3x - 2 \le 0 \]

1. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения \( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5 \]

1. Теперь определим интервалы, на которых \( 2x^2 - 3x - 2 \le 0 \). Парабола \( y = 2x^2 - 3x - 2 \) ветвями направлена вверх, поэтому отрицательные значения она принимает между корнями.

Таким образом, решением неравенства является интервал от -0.5 до 2 включительно.

Ответ: \( [-0.5; 2] \)