27. Найдите значение производной в точке x₀, если $$ f(x) = -4x^3 - 2x^2 + 5x^2 - 3x + 6, $$ если x₀ = 1

Решение:

Сначала упростим функцию \( f(x) \):

\[ f(x) = -4x^3 + (-2x^2 + 5x^2) - 3x + 6 \]

\[ f(x) = -4x^3 + 3x^2 - 3x + 6 \]

Теперь найдем производную функции \( f(x) \). Производная степенной функции \( (x^n)' = n x^{n-1} \) и производная константы равна 0.

\[ f'(x) = (-4x^3)' + (3x^2)' - (3x)' + (6)' \]

\[ f'(x) = -4 \cdot 3x^{3-1} + 3 \cdot 2x^{2-1} - 3 \cdot 1x^{1-1} + 0 \]

\[ f'(x) = -12x^2 + 6x^1 - 3x^0 \]

\[ f'(x) = -12x^2 + 6x - 3 \]

Теперь подставим значение \( x_0 = 1 \) в производную:

\[ f'(1) = -12(1)^2 + 6(1) - 3 \]

\[ f'(1) = -12(1) + 6 - 3 \]

\[ f'(1) = -12 + 6 - 3 \]

\[ f'(1) = -6 - 3 \]

\[ f'(1) = -9 \]

Ответ: -9