25. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 8 и 6, а средняя линия равна 5.

Обозначим основания трапеции через \(a\) и \(b\), а её высоту — через \(h\). Средняя линия равна половине суммы оснований, поэтому \(a+b=10\).

Пусть горизонтальные проекции диагоналей на направление оснований равны \(p\) и \(q\). Их сумма равна сумме оснований: \(p+q=10\). Из теоремы Пифагора для диагоналей длиной 8 и 6 получаем \(p^2+h^2=64\) и \(q^2+h^2=36\).

Вычитая второе равенство из первого, имеем \(p^2-q^2=28\), то есть \((p-q)(p+q)=28\). Поэтому \(p-q=2.8\). Вместе с \(p+q=10\) это даёт \(p=6.4\) и \(q=3.6\).

Тогда \(h^2=36-3.6^2=23.04\), откуда \(h=4.8\). Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту: \(S=5\cdot4.8=24\).

Ответ: 24