25. Окружности радиусов 12 и 28 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Центры окружностей находятся на расстоянии \(12+28=40\). Для двух общих внешних касательных расстояние между параллельными прямыми \(AB\) и \(CD\) равно расстоянию между их точками касания на первой окружности.

Пусть \(\alpha\) — угол между радиусом к точке касания и линией центров. Перпендикулярное расстояние между центрами касания вдоль направления центров равно разности радиусов: \(40\cos\alpha=28-12=16\). Поэтому \(\cos\alpha=2/5\), а \(\sin\alpha=\sqrt{21}/5\).

Искомое расстояние между касательными равно диаметру первой окружности, умноженному на \(\sin\alpha\): \(2\cdot12\cdot\frac{\sqrt{21}}5=\frac{24\sqrt{21}}5\).

Ответ: \(\frac{24\sqrt{21}}5\).