25. Углы при одном из оснований трапеции равны \(77^\circ\) и \(13^\circ\), а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.

Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), где \(a>b\), а высота равна \(h\). Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, — средняя линия трапеции; его длина равна \(\dfrac{a+b}{2}\). Отрезок, соединяющий середины оснований, обозначим через \(d\).

Горизонтальные проекции боковых сторон равны \(h\cot77^\circ\) и \(h\cot13^\circ\), поэтому \(a-b=h(\cot77^\circ+\cot13^\circ)=2h\csc26^\circ\).

У отрезка между серединами оснований вертикальная составляющая равна \(h\), а горизонтальная по модулю равна \(\dfrac{h}{2}(\cot13^\circ-\cot77^\circ)=h\cot26^\circ\). Поэтому \(d=\sqrt{h^2+h^2\cot^2 26^\circ}=h\csc26^\circ\), откуда \(a-b=2d\).

Значит, длины данных отрезков 11 и 10 — это соответственно средняя линия и отрезок между серединами оснований: средняя линия должна быть 11, а \(d=10\). Иначе получили бы сумму оснований 20 и разность 22, что невозможно для положительных оснований.

Тогда \(a+b=22\), \(a-b=20\). Складывая равенства, получаем \(2a=42\), значит, \(a=21\); вычитая, получаем \(2b=2\), значит, \(b=1\).

Ответ: основания трапеции равны 21 и 1.