25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Обозначим основания трапеции через \(a\) и \(b\), где \(a

По формуле площади \(1500=\frac{a+b}{2}h=50h\), поэтому \(h=30\).

Опустим высоты от концов меньшего основания. Горизонтальный сдвиг каждой боковой стороны равен \(\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40\). Поэтому \(b-a=80\). Вместе с \(a+b=100\) это даёт \(a=10\), \(b=90\).

Точка пересечения диагоналей делит высоту трапеции в отношении оснований. Её расстояние от меньшего основания равно \(h\cdot\frac{a}{a+b}=30\cdot\frac{10}{100}=3\).

Ответ: 3.