25. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность через точки C и D касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=14, BC=7.

Введём координаты: B=(0;0), C=(7;0), A=(0;h), D=(14;h), E=(0;e). Центр окружности, касающейся прямой AB в точке E, имеет координаты (r;e) или (−r;e), где r — радиус. Из того, что C и D лежат на окружности, следует:

\(14r=49+e^2\) (при выборе центра с координатой x=r),

\((14-r)^2+(h-e)^2=r^2.\)

Подставляя первое равенство во второе и упрощая, получаем \((e+h)^2=2(h^2+49)\).

Прямая CD проходит через C=(7;0) и D=(14;h), поэтому расстояние от E до CD равно \(\frac{7|e+h|}{\sqrt{h^2+49}}\). С учётом найденного равенства это расстояние равно \(7\sqrt{2}\).

Ответ: 7√2.