25. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют общую длину, равную 44. Найдите стороны треугольника ABC.

Обозначим \(AB=c\), \(BC=a\), \(AC=b\), а половину угла \(B\) — через \(\alpha\).

Расположим биссектрису \(BE\) горизонтально. Из условия \(AD\perp BE\) следует, что проекция медианы на биссектрису равна нулю. Поэтому \(BC=2AB\), то есть \(a=2c\).

Длина медианы:

\[AD=2c\sin\alpha=44.\]

Длина биссектрисы:

\[BE=\frac{2ac\cos\alpha}{a+c}=\frac{4c\cos\alpha}{3}=44.\]

Приравнивая выражения, получаем:

\[2c\sin\alpha=\frac{4c\cos\alpha}{3},\qquad \tan\alpha=\frac23.\]

Следовательно, \(\sin\alpha=\frac2{\sqrt{13}}\), \(\cos 2\alpha=\frac5{13}\).

Из \(2c\sin\alpha=44\):

\[c=11\sqrt{13}.\]

Тогда:

\[a=2c=22\sqrt{13}.\]

По теореме косинусов:

\[b^2=a^2+c^2-2ac\cos 2\alpha=5445=1089\cdot5,\]

\[b=33\sqrt5.\]

Ответ: \(AB=11\sqrt{13}\), \(BC=22\sqrt{13}\), \(AC=33\sqrt5\).