25. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 17 : 15, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 16.

Обозначим через H основание высоты из B на AC, а через P — точку пересечения этой высоты с биссектрисой угла A. По условию BP : PH = 17 : 15.

В прямоугольном треугольнике ABH отрезок AP — биссектриса угла BAH, поэтому по теореме о биссектрисе AB : AH = BP : PH = 17 : 15. Следовательно, если AH = 15t и AB = 17t, то по теореме Пифагора BH = √((17t)² − (15t)²) = 8t.

Так как H лежит на AC, угол A треугольника ABC равен углу BAH, и sin A = BH / AB = 8/17. По формуле BC = 2R sin A получаем R = 16 / (2 · 8/17) = 17.

Ответ: 17.