22. Постройте график функции y = (x²+4)(x-1) / (1-x) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Краткое пояснение:

Для построения графика функции сначала необходимо упростить её выражение, а затем проанализировать полученную функцию и точки пересечения с прямой y = kx.

Решение:

1. Упрощение функции:

Дана функция: \( y = \frac{(x^2+4)(x-1)}{1-x} \)

Заметим, что \( 1-x = -(x-1) \). Подставим это в знаменатель:

\( y = \frac{(x^2+4)(x-1)}{-(x-1)} \)

При \( x
eq 1 \) мы можем сократить \( (x-1) \):

\( y = -(x^2+4) \)

\( y = -x^2 - 4 \)

Функция определена для всех \( x \), кроме \( x=1 \). При \( x=1 \) функция имеет устранимый разрыв (выколотую точку).

Найдем значение y в точке \( x=1 \) для графика \( y = -x^2 - 4 \):

\( y = -(1)^2 - 4 = -1 - 4 = -5 \)

Таким образом, график функции — это парабола \( y = -x^2 - 4 \) с выколотой точкой в \( (1, -5) \).

2. Построение графика:

График функции \( y = -x^2 - 4 \) — парабола с вершиной в точке \( (0, -4) \), ветви которой направлены вниз. Выколотая точка находится в \( (1, -5) \).

График функции: