25. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 4 : 1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника ABK.

Введём координаты: пусть \(B=(0,0)\), \(C=(2,0)\), \(A=(u,v)\), где \(v\ne0\). Тогда \(M=((u+2)/2,v/2)\), поскольку \(M\) — середина \(AC\).

Из \(BK:KM=4:1\) следует, что \(K\) делит отрезок \(BM\) в отношении 4:1 от точки \(B\):

\[K=\frac45M=\left(\frac{2(u+2)}5,\frac{2v}5\right).\]

Прямая \(AK\) пересекает ось \(BC\) при параметре \(t=5/3\) в записи \(A+t(K-A)\), поскольку её координата \(y\) равна \(v(1-3t/5)\). Отсюда \(P=(4/3,0)\).

Площади найдём по основаниям и высотам:

\[S_{BKP}=\frac12\cdot\frac43\cdot\frac{2|v|}5=\frac{4|v|}{15},\qquad S_{ABK}=\frac12\left|\det(A,K)\right|=\frac{2|v|}5.\]

Следовательно,

\[\frac{S_{BKP}}{S_{ABK}}=\frac{4|v|/15}{2|v|/5}=\frac23.\]

Ответ: \(2:3\).