25. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM = 4 : [числовые данные обрезаны]. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади четырёхугольника KPCM.

Число после двоеточия в отношении \(BK:KM\) обрезано, поэтому однозначно получить численный ответ нельзя. Если обозначить это число через \(n\), то можно выразить искомое отношение через него.

Пусть \(t=BK/BM\). Тогда \(t=\frac{4}{4+n}\). Поскольку M — середина AC, из подобия треугольников при пересечении прямой AK стороны BC получаем \(BP/BC=\frac{t}{2-t}\). Сравним площади в координатах, задавая вершины треугольника как \(B=(0,0), A=(1,0), C=(0,1)\). Тогда \(M=(\frac12,\frac12)\), \(K=(\frac t2,\frac t2)\), а \(P=(0,\frac{t}{2-t})\). Отношение площадей упрощается так:

\[\frac{S_{AKM}}{S_{KPCM}}=\frac{1-t}{1-t^2/(2-t)}=\frac{2-t}{2+t}=\frac{n+2}{n+6}.\]

Чтобы определить численный ответ, пришлите полностью видимый фрагмент с отношением \(BK:KM\).