25. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM = 6:7. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника ABK.

Пусть \(B=(0,0)\), \(C=(2,0)\), а \(A=(u,v)\). Тогда середина \(AC\) — точка \(M=(\frac{u+2}{2},\frac v2)\). Из отношения \(BK:KM=6:7\) следует, что \(K=\frac6{13}M=(\frac{3(u+2)}{13},\frac{3v}{13})\).

Прямая \(AK\) пересекает ось \(BC\) в точке \(P=(\frac35,0)\): это следует из условия нулевой координаты \(y\) на прямой через \(A\) и \(K\).

Площади найдём по координатам через определитель. Общий множитель \(\frac12\) сокращается:

\[\frac{S_{BKP}}{S_{ABK}}=\frac{|\det(K,P)|}{|\det(A,K)|}=\frac{9|v|/65}{6|v|/13}=\frac3{10}.\]

Ответ: \(\frac3{10}\).