256. Докажите, что если z является средним гармоническим положительных чисел a и b, причём a ≠ b, то верно равенство 1/(z − a) + 1/(z − b) = 1/a + 1/b.

По определению среднего гармонического положительных чисел \(a\) и \(b\), \(z=\dfrac{2ab}{a+b}\). Так как \(a,b>0\), знаменатель \(a+b\) не равен нулю.

Вычтем из \(z\) сначала \(a\), затем \(b\):

\(z-a=\dfrac{2ab-a(a+b)}{a+b}=\dfrac{a(b-a)}{a+b}\),
\(z-b=\dfrac{2ab-b(a+b)}{a+b}=\dfrac{b(a-b)}{a+b}\).

Оба выражения не равны нулю, поскольку \(a\ne b\). Поэтому

\(\dfrac1{z-a}+\dfrac1{z-b}=\dfrac{a+b}{a(b-a)}+\dfrac{a+b}{b(a-b)}=\dfrac{a+b}{b-a}\left(\dfrac1a-\dfrac1b\right)=\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac1a+\dfrac1b\).

Равенство доказано.