261. Постройте график функции y = −4 − (x + 2)/(x² + 2x). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком общих точек.

Разложим знаменатель на множители: \(x^2+2x=x(x+2)\). Исходная область определения: \(x\ne0,-2\). При допустимых \(x\) функция упрощается:

\(y=-4-\dfrac{x+2}{x(x+2)}=-4-\dfrac1x\).

При \(x=-2\) значение упрощённого выражения было бы \(-\dfrac72=-3{,}5\), но эта точка исключена; на графике есть выколотая точка \((-2;-3{,}5)\). Значение \(-4\) функция не принимает, так как уравнение \(-4-\dfrac1x=-4\) решений не имеет. Все остальные значения, кроме \(-3{,}5\), достигаются.

График — гипербола \(y=-4-\dfrac1x\) с асимптотами \(x=0\), \(y=-4\) и выколотой точкой \((-2;-3{,}5)\).

Ответ: \(m=-4\) или \(m=-3{,}5\).