26.4. 1) В прямоугольнике ABCD отрезки AE и CF — перпендикуляры, опущенные из вершин A и C на диагональ BD. Угол между диагоналями равен 30°, CF = 2 см. а) Докажите, что AE = CF. б) Найдите длину диагонали BD. 2) Постройте ромб по стороне и одной из диагоналей.

1а) Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся пополам. Вращение на 180° вокруг их точки пересечения переводит A в C, а прямую BD — в себя. Поэтому перпендикулярные расстояния от A и C до BD равны: AE = CF.

1б) Пусть O — точка пересечения диагоналей. В прямоугольном треугольнике CОF угол между CO (лежащей на диагонали AC) и OF (лежащей на BD) равен 30°. Так как диагонали прямоугольника равны, CO = BD/2. Тогда CF = CO · sin 30° = BD/4. Отсюда BD = 4 · 2 = 8 см.

Ответ: AE = CF; BD = 8 см.

2) Числовые данные не указаны. Построить заданную диагональ AC и найти её середину O. Провести через O перпендикуляр к AC. На нём отложить OB = OD, равные половине второй диагонали ромба. Соединить A, B, C, D по порядку.