26.6. 1) Перпендикуляр, опущенный из вершины угла A прямоугольника ABCD на диагональ, не проходящую через эту вершину, делит её в отношении 1 : 3, считая от вершины B. Диагональ равна 6 см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до большей стороны. 2) Постройте ромб по одному из его углов и расстоянию между параллельными сторонами.

1) Пусть H — основание перпендикуляра из A на диагональ BD. По условию BH : HD = 1 : 3, а BD = 6 см, поэтому BH = 6 · 1/4 = 1,5 см и HD = 4,5 см.

В прямоугольном треугольнике ABD высота AH к гипотенузе BD удовлетворяет AB² = BH · BD. Значит, AB² = 1,5 · 6 = 9, откуда AB = 3 см. Тогда AD² = BD² − AB² = 36 − 9 = 27, то есть AD = 3√3 см; это большая сторона.

Точка пересечения диагоналей — центр прямоугольника. Её расстояние до большей стороны равно половине перпендикулярного расстояния между этой стороной и параллельной ей стороной, то есть AB/2 = 1,5 см.

Ответ: 1,5 см.

2) Числовые данные не указаны. Построить две параллельные прямые на заданном расстоянии друг от друга. На первой прямой выбрать точку A и построить при ней заданный угол; один его луч направить к точке B на второй прямой. Через B провести прямую, параллельную другой стороне угла, до пересечения с первой прямой в точке D; завершить параллелограмм. Его соседние стороны образуют заданный угол, а расстояние между параллельными сторонами равно заданному, поэтому это искомый ромб.