27.10. Шар налетает на покоящийся шар и после абсолютно упругого удара отскакивает в обратном направлении с вдвое меньшей скоростью. Найдите отношение масс первоначально покоившегося и двигавшегося шаров.

Обозначим массу двигавшегося шара через \(m\), массу покоившегося — через \(M\), начальную скорость первого шара — через \(v\). После удара его скорость равна \(-\frac{v}{2}\), где минус обозначает обратное направление.

1. Из сохранения кинетической энергии: \(\frac{mv^2}{2}=\frac{m(v/2)^2}{2}+\frac{MV^2}{2}\). Отсюда \(MV^2=\frac{3}{4}mv^2\).
2. Из сохранения импульса: \(mv=-\frac{mv}{2}+MV\), поэтому \(MV=\frac{3}{2}mv\).
3. Делим квадрат второго равенства на первое: \(M=\frac{(MV)^2}{MV^2}=\frac{(\frac{3}{2}mv)^2}{\frac{3}{4}mv^2}=3m\).

Ответ: отношение массы покоившегося шара к массе двигавшегося равно 3:1.