28.16. a) y = (x² - 1)(x² + 2); б) y = (x³ + 1)√x; в) y = (x² + 3)(x⁴ - 1); г) y = √x(x² + 2).

Задание 28.16

а) y = (x² - 1)(x² + 2)

Сначала раскроем скобки:

\[ y = x^2 · x^2 + 2 · x^2 - 1 · x^2 - 1 · 2 \]

\[ y = x^4 + 2x^2 - x^2 - 2 \]

\[ y = x^4 + x^2 - 2 \]

Теперь найдём производную:

\[ y' = (x^4)' + (x^2)' - (2)' \]

\[ y' = 4x^3 + 2x - 0 \]

\[ y' = 4x^3 + 2x \]

Ответ: \( y' = 4x^3 + 2x \).

б) y = (x³ + 1)√x

Запишем \( \sqrt{x} \) как \( x^{1/2} \) и раскроем скобки:

\[ y = (x^3 + 1) · x^{1/2} = x^3 · x^{1/2} + 1 · x^{1/2} \]

\[ y = x^{3 + 1/2} + x^{1/2} = x^{7/2} + x^{1/2} \]

Теперь найдём производную, используя правило \( (x^n)' = nx^{n-1} \):

\[ y' = (x^{7/2})' + (x^{1/2})' \]

\[ y' = \frac{7}{2} x^{7/2 - 1} + \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} \]

\[ y' = \frac{7}{2} x^{5/2} + \frac{1}{2} x^{-1/2} \]

Можно записать ответ в виде корней:

\[ y' = \frac{7}{2} \sqrt{x^5} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{7x^2 \sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} \]

Ответ: \( y' = \frac{7}{2}x^{5/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).

в) y = (x² + 3)(x⁴ - 1)

Раскроем скобки:

\[ y = x^2 · x^4 - 1 · x^2 + 3 · x^4 - 3 · 1 \]

\[ y = x^6 - x^2 + 3x^4 - 3 \]

Переупорядочим слагаемые по убыванию степеней:

\[ y = x^6 + 3x^4 - x^2 - 3 \]

Теперь найдём производную:

\[ y' = (x^6)' + (3x^4)' - (x^2)' - (3)' \]

\[ y' = 6x^5 + 3 · 4x^3 - 2x - 0 \]

\[ y' = 6x^5 + 12x^3 - 2x \]

Ответ: \( y' = 6x^5 + 12x^3 - 2x \).

г) y = √x(x² + 2)

Запишем \( \sqrt{x} \) как \( x^{1/2} \) и раскроем скобки:

\[ y = x^{1/2} · x^2 + x^{1/2} · 2 \]

\[ y = x^{1/2 + 2} + 2x^{1/2} = x^{5/2} + 2x^{1/2} \]

Теперь найдём производную:

\[ y' = (x^{5/2})' + (2x^{1/2})' \]

\[ y' = \frac{5}{2} x^{5/2 - 1} + 2 · \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} \]

\[ y' = \frac{5}{2} x^{3/2} + x^{-1/2} \]

Ответ: \( y' = \frac{5}{2}x^{3/2} + x^{-1/2} \).