Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Задание 28.17
а) y = (1/x + 1)(2x - 3)
Запишем \( 1/x \) как \( x^{-1} \). Раскроем скобки:
\[ y = (x^{-1} + 1)(2x - 3) \]
\[ y = x^{-1} · 2x - x^{-1} · 3 + 1 · 2x - 1 · 3 \]
\[ y = 2x^0 - 3x^{-1} + 2x - 3 \]
\[ y = 2 - 3x^{-1} + 2x - 3 \]
\[ y = 2x - 3x^{-1} - 1 \]
Теперь найдём производную:
\[ y' = (2x)' - (3x^{-1})' - (1)' \]
\[ y' = 2 - 3 · (-1)x^{-1-1} - 0 \]
\[ y' = 2 + 3x^{-2} \]
\[ y' = 2 + \frac{3}{x^2} \]
Ответ: \( y' = 2 + \frac{3}{x^2} \).
б) y = √x cos x
Используем правило дифференцирования произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).
Пусть \( u = \sqrt{x} = x^{1/2} \) и \( v = \cos x \).
Производная \( u' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
Производная \( v' = (\cos x)' = -\sin x \).
Подставляем в формулу:
\[ y' = (\frac{1}{2\sqrt{x}}) \cos x + \sqrt{x} (-\sin x) \]
\[ y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x \]
Ответ: \( y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x} \sin x \).
в) y = (1/x + 8)(5x - 2)
Запишем \( 1/x \) как \( x^{-1} \). Раскроем скобки:
\[ y = (x^{-1} + 8)(5x - 2) \]
\[ y = x^{-1} · 5x - x^{-1} · 2 + 8 · 5x - 8 · 2 \]
\[ y = 5x^0 - 2x^{-1} + 40x - 16 \]
\[ y = 5 - 2x^{-1} + 40x - 16 \]
\[ y = 40x - 2x^{-1} - 11 \]
Теперь найдём производную:
\[ y' = (40x)' - (2x^{-1})' - (11)' \]
\[ y' = 40 - 2 · (-1)x^{-1-1} - 0 \]
\[ y' = 40 + 2x^{-2} \]
\[ y' = 40 + \frac{2}{x^2} \]
Ответ: \( y' = 40 + \frac{2}{x^2} \).
г) y = √x sin x
Используем правило дифференцирования произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).
Пусть \( u = \sqrt{x} = x^{1/2} \) и \( v = \sin x \).
Производная \( u' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
Производная \( v' = (\sin x)' = \cos x \).
Подставляем в формулу:
\[ y' = (\frac{1}{2\sqrt{x}}) \sin x + \sqrt{x} (\cos x) \]
\[ y' = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x \]
Ответ: \( y' = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cos x \).
